Несократимые правильные дроби – это дроби, которые нельзя упростить и при этом числитель и знаменатель которых являются взаимно простыми числами, то есть не имеют общих делителей, кроме 1. В данной статье рассмотрим количество таких дробей со знаменателем 31.
Знаменатель дроби, как и числитель, является натуральным числом, поэтому мы рассматриваем все возможные значения знаменателя, начиная с 1 и заканчивая 30. Все несократимые дроби с знаменателем 31 будут иметь числитель, равный одному из чисел от 1 до 30.
Для определения, является ли дробь правильной, нужно проверить условие: числитель должен быть меньше знаменателя. Исключим из рассмотрения числитель, равный 31, поскольку такая дробь будет равна 1. Таким образом, у нас остается 30 возможных числителей, и каждый из них будет соответствовать одной несократимой дроби.
Количество несократимых правильных дробей
Чтобы решить эту задачу, нужно определить количество взаимно простых чисел с числителем, меньшим чем 31. Это можно сделать с помощью формулы эйлеровой функции φ(n), которая вычисляет количество взаимно простых с n чисел.
В данном случае, рассматриваемые числители должны быть меньше 31. Применяя формулу φ(n) для n = 31, получаем, что φ(31) = 30. Таким образом, у нас есть 30 взаимно простых чисел с числителем, меньшим чем 31.
Значит, количество несократимых правильных дробей со знаменателем 31 равно количеству взаимно простых чисел с числителем, меньшим чем 31. Итого, получаем ответ: 30.
С показателем 31
Простым числом называется число, которое имеет только два делителя: 1 и само число. Таким образом, знаменатель 31 имеет только два делителя: 1 и 31. Это означает, что любая дробь со знаменателем 31 будет правильной дробью.
Чтобы найти все несократимые правильные дроби, необходимо рассмотреть все числа от 1 до 30 в числителе. Поскольку числитель и знаменатель должны быть взаимно простыми (то есть не иметь общих делителей, кроме 1), мы можем применить алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя каждого числителя и знаменателя.
Таблица ниже показывает все несократимые правильные дроби со знаменателем 31:
| Числитель | Дробь | Значение |
|---|---|---|
| 1 | 1/31 | 0.0323 |
| 2 | 2/31 | 0.0645 |
| 3 | 3/31 | 0.0968 |
| 4 | 4/31 | 0.1290 |
| 5 | 5/31 | 0.1613 |
| 6 | 6/31 | 0.1935 |
| 7 | 7/31 | 0.2258 |
| 8 | 8/31 | 0.2581 |
| 9 | 9/31 | 0.2903 |
| 10 | 10/31 | 0.3226 |
| 11 | 11/31 | 0.3548 |
| 12 | 12/31 | 0.3871 |
| 13 | 13/31 | 0.4193 |
| 14 | 14/31 | 0.4516 |
| 15 | 15/31 | 0.4839 |
| 16 | 16/31 | 0.5161 |
| 17 | 17/31 | 0.5484 |
| 18 | 18/31 | 0.5806 |
| 19 | 19/31 | 0.6129 |
| 20 | 20/31 | 0.6452 |
| 21 | 21/31 | 0.6774 |
| 22 | 22/31 | 0.7097 |
| 23 | 23/31 | 0.7419 |
| 24 | 24/31 | 0.7742 |
| 25 | 25/31 | 0.8065 |
| 26 | 26/31 | 0.8387 |
| 27 | 27/31 | 0.8710 |
| 28 | 28/31 | 0.9032 |
| 29 | 29/31 | 0.9355 |
| 30 | 30/31 | 0.9677 |
Всего существует 30 несократимых правильных дробей со знаменателем 31.
В числителе и знаменателе
Чтобы найти количество несократимых правильных дробей со знаменателем 31, необходимо определить количество числителей и знаменателей, которые взаимно просты со знаменателем 31. Дробь будет несократимой, если её числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1.
Так как знаменатель равен 31, то все числители, кроме кратных 31, будут взаимно просты с знаменателем. Остается найти количество числителей, кратных 31. Таких числителей будет 1 штука - само число 31.
Итак, количество несократимых правильных дробей со знаменателем 31 составляет 30, так как 30 числителей взаимно просты с 31 и еще одна дробь с числителем 31.
